§1.5 命题

八卦谈佚名 ▪ 2023-05-04 06:16:30

补充+改编自华东师范大学第二附中实验班用教材。

1.什么是命题(O_o)??

命题是一种对某一事物做出明确判断的陈述句。所以，判断一句话是否属于命题，关键就看两点：一是是不是陈述句，二是是不是做出了明确判断。比如，“好想给作者来个三连啊！”“你为什么不给作者三连？”“请您给作者三连谢谢”就不是陈述句，所以不是命题（不过呢，你知道的，[手动滑稽]）；而“对于任意实数a，a>0”就是一个命题。不过这个命题是错误的，所以称之为假命题；正确的命题称之为真命题。证明一个命题是真命题需要经过严格的推理，但证明它是假命题只需举出一个反例即可。

通常情况下，命题可以被改写成“若……则……”或者“如果……那么……”的形式，这种形式可以看做是命题的一般形式。其中，“若”“如果”后的部分叫做命题的条件或题设，“则”“那么”后的部分叫做命题的结论。举个栗例子，命题“对顶角相等”就可以改写成“若两个角是对顶角，则它们相等”，“两个角是对顶角”就是条件，“它们相等”就是结论。改写命题的问题通常不会太难，所以它通常不会考。

2.逻辑连词

有的时候，命题的条件或者结论会由许多小部分组成。这样的命题叫做复合命题。连接这些小部分的词语叫做逻辑连词（你在这教语文？）。常见的逻辑连词包括“且”（符号为∧）、“或”（符号为∨）、“非”（符号为┐）。其中，“且”连接的两部分只有都为真时，整个表达式才为真，否则为假；“或”连接的两部分只有都为假时，整个表达式才为假，否则为真；“非”只在后边接一部分，这部分为真时表达式为假，这部分为假时表达式为真。如果不能很好地理解三个逻辑连词，我们通常会借助真值表来加强理解（如图1）。

3.四种命题

我们知道，在数学中，各种“关系”是不可回避的话题。命题之间有什么关系呢？命题与我有什么关系呢？数学家们通过总结发现，与一个命题直接相关的有其他三个命题：逆命题、否命题与逆否命题。而最初的这个命题被称作原命题，合起来总共有四种命题。

逆命题，是指把原命题的条件与结论反过来得到的命题。否命题，是指把原命题的条件与结论变为原命题的反面得到的命题。逆否命题，则是指将原命题的条件与结论反过来再分别取反面得到的命题。我们通过对真值表的枚举发现，原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而与其逆命题和否命题的真假性无关。四种命题的关系可以总结如下：

4.全称量词、存在量词与命题的否定

小学的时候，老师就经常向我们传授“结题秘笈”：那些说法比较绝对的选项啊，什么“一定……”“所有……”“任意……”一般都是错的，而那些“可能……”“存在……”之类的基本问题不大。现在我们知道，这是一个假命题[手动滑稽]。不过至少，小学老师成为了我们最早的命题启蒙老师。

有些命题，条件里带有“所有”“任意”“全部”“每一个”之类比较“绝对”的字眼。这种词语，我们叫做全称量词。含有全称量词的命题叫做全称量词命题（全称命题）。与之对应，有些命题不那么绝对，条件里带有的词汇是“至少一个”“至多一百零八个”“存在”“可能有一个”之类的，这样的词汇叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做存在量词命题（特称命题）。

全称量词命题的一般形式是“对于任意x∈M, p(x)”，记作 $%5Cforall%20x%5Cin%20M%2C%20p(x)$ ；存在量词命题的一般形式是“存在x∈M, p(x)”，记作 $%5Cexists%20x%5Cin%20M%2C%20p(x)$ 。现在我们规定，命题的否定是指整个命题的反面（命题的否定可不是否命题啊喂）。那么全称量词命题的否定就是 $%5Cexists%20x%5Cin%20M%2C%20%E2%94%90p(x)$ ，存在量词命题的否定就是 $%5Cforall%20x%5Cin%20M%2C%20%E2%94%90p(x)$ 。不难发现，命题变否定的规律就是“变量词，否结论”。