模糊数学

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摘要：模糊数学，亦称弗晰数学或模糊性数学。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。它使过去那些与数学毫不相干或关系不大的学科都有可能永定量化和数学化加以描述和处理。模糊数学自诞生以来取得迅猛的发展，目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。

关键字：模糊数学  内容 发展 应用  实例分析

引言： 模糊数学作为一种新型学科，在人类的实际生产生活中有着不可磨灭的作用。生活中存在着一系列抽象的，界限模糊的食物以及概念。而此类问题用经典数学理论是无法解决的，往往很棘手。但是在用到这种新型模糊数学理论体系就可以轻轻松松的解决掉他们。随着计算机和信息技术的高速发展，数学的应用范围急剧扩展，特别是近年来对模糊数学理论的研究，已经渗透到数学以及其他自然科学和社会科学的许多领域。其应用之广泛已经遍及理工农医各个方面。

1 模糊数学的概念的内容及发展

1-1定义

 模糊数学，是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学，是指在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拖扑、模糊测度论等数学领域。所谓“模糊性”主要指客观事物差异的中间过渡界限的“不分明性”。在地质学上，如储层的含油气性、油田规模的大小、成油地质条件的优劣等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量内部分级没有明显界限。模糊观念的理论强调以模糊逻辑来描述现实生活中实物的等级，以弥补古典逻辑（二值逻辑）无法对不明确定义边界事物描述的缺点。

1-2 产生与发展

模糊数学是一门新兴学科，是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法，它不是让数学变得模糊，而是让数学研究进入到模糊现象这样的领域。1965年美国控制论学者扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。该学科的发展主流在它的应用方面，由于模糊性的概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊数学的方法来描述。这些方法构成了一种模糊性系统理论，它已广泛应用于计算机科学、人工智能、信息处理、控制工程、经济与管理科学、气象预报等领域。

数学思想方法的几次重大转折:

常量数学→变量数学

必然数学→概率数学

清晰数学→模糊数学

模糊数学目前正沿着理论研究和应用研究两个方向迅速发展着。理论研究主要是经典数学概念的模糊化。由于模糊集自身的层次结构，使得这种理论研究更加复杂，当然也因而更具吸引力。目前已形成了模糊拓扑、模糊代数、模糊分析、模糊测度及模糊计算机等模糊数学分支。应用研究主要是对模糊性之内在规律的探讨．对模糊逻辑及模糊信息处理技术的研究。模糊数学的应用范围已遍及自然科学与社会科学的几乎所有的领域。模糊新产品不断问世，模糊技术不断被应用到高精尖领域。因此，可以毫不夸张地说，全球性的“模糊热”已经形成。

1-3研究内容

美国控制论学者查德发表论文《模糊集合》，论文将模糊数学的研究内容概括为以下三个方面名词解释：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。

　 查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

　 在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

2 研究模糊语言学和模糊逻辑

　人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立合适的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

　如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他近义的，以及能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，即名词解释：非真即假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。 为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊逻辑还很不成熟，尚需继续研究。

3 研究模糊数学的应用

　　模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

模糊数学已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

4 模糊数学的研究方法及应用

4-1模糊数学的方法

（1）模糊聚类分析

模糊聚类分析的方法的步骤名词解释：

1.数据标准化；在实际问题中，不同的数据有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做相应的变换但是，即便这样，得到的数据也不一定在区间0~1上。通常要做变换；

a；平移标准差变换；

      b；平移极差变换；

      c；对数变换

2.标定(建立模糊数学相似矩阵）

      a；相似系数法

      b；距离法

3．聚类（求动态聚类图）

      a，基于模糊等价矩阵聚类方法

      b；直接聚类法；

（2）模糊模式识别

“模式”一词源于英文“pattern”，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的定义，在此我们讲的模式是具有一定结构的信息集合。

模式识别就是识别给定的项目以及与它们相同或类似的事物，也可以理解为项目的分类，即把样品分为若干类，判断给定事物属于哪一类。

模式识别的方法大致可以分为两种，即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近原则进行归类的间接法。

利用模糊识别方法进行待判别样本隶属性的识别一般可采取以下几步名词解释：

1、选取能刻划模式特性的特征量的个数及其量值；

2、确定特征量的模糊子集的隶属函数；

3、将研究区内的已知区的若干单元按需分类；

4、确定研究区内待判单元的特征量的值，特征量的类型要与控制区单元的特征量的类型相同；

5、计算待判单元与已知单元相应特征量的模糊集之间的贴近度，并列表；

6、利用多个特性的择近原则确定待判单元的属性；

（3）模糊相似优先比方法

相似比优先是模糊性度量的一种形式，它是以成对的样本与一个固定的样本作比较，确定哪一个固定样本更相似，从而选择与固定样本相似程度较大者。

一般情况下，若每个样本有m个因素，则对每一因素都有模糊相似矩阵，所以每一样本的每一因素都产生一个反映相似程度的序值号，最后将每一样本各个因素的序号值相加，其结果便是该样本与固定样本相似程度的综合反映。样本的序值号越小，该样本与固定样本就越相似，但严格地说各个因素对样本的影响程度是不一样的，因此有必要给各个因素赋予一定的权重，这样得到的结果更符合实际情况。

（4）模糊综合评判

综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象做出一个总的评价，这是在日常生活和科研工作中经常遇到的问题，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行评判将使结果尽量客观而取得最好的效果。

（5）模糊关系方程求解

模糊关系方程式模糊数学的一个重要组成部分，它其实是模糊综合评判的逆问题。这类问题具有普遍实际意义，如一些老专家、老中医或具有丰富经验的实际工作人员，在他们的头脑里，经验和技术常归结于对诸因素有一种优越的权数分配方案，这些难以言传的经验技术，可望利用模糊数学原理，借助计算机技术进行模拟并保存下来。

4-2 模糊数学的应用

 （1）模糊分类问题

已知若干那个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪个模糊概念反映更准确合理。

 （2）模糊相似选择

按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见问题，但用来比较的性质具有边界不分明的模糊性。

 （3）模糊聚类分析

根据研究事物本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。

（4）模糊层次分析法

两两比较指标的确定。

（5）模糊综合评判

综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象做出一个总的评价。由于从多方面对事物进行评价，难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行评判将使结果尽量客观而取得更好的结果。 

   在模糊数学的应用分析中，经常运用的是聚类分析的方法。模糊聚类分析就是按照一定的方法和规律对事物进行区分和分类的过程在这一过程中，没有任何关于分类的先验知识，仅靠事物间的相似性作为类属规划的准则，属于无监督分类的范畴。

5 模糊数学的应用实例分析

5-1课堂教学的评价模型

对教师的课堂教学进行评价，是教室评价的一个方面。由于课堂教学优良的度量是模糊的，因此很难明确的界定。

教师的课堂教学是一种复杂的智力活动与劳动，不仅涉及到所授课程的知识，而且旁及教育学、心理学、语言学等。跟教师的工作热情，工作态度和业务水平有相当的关系。因此我们考虑在抓住课堂教学的主要因素和讲授的基本要求后，设计评定量表，采用先定性，后定量的二次量化的方法进行模糊评价。

(1)课堂教学的主要因素和基本要求  

课堂教学的主要因素和基本要求构成的集合U，评语构成的集合V。 

U={u0,u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8,u9}

V={v1,v2,v3,v4,v5}

其中：

u0＝仪态端庄亲切：衣着整洁，须发及时修剃，既不紧张也不狂妄，对学生既亲切又能大胆管理。

u1＝讲话清晰：音量适中，学生既能听到讲解内容，又不觉得声音过大或过小，口齿清楚，快慢得当，语言通俗易懂。

u2＝板书工整:字迹工整好认，板书设计合理，不背对学生，边写边讲，板书能标明内容的条理、头绪和现在的进度。

u3＝条理清楚好记：叙述内容眉目清楚，层次分明，脉络清晰，有点有线，笔记好记。

u4＝讲度掌握适中：既不拖堂，也不空余太多时间，做到快慢适中，轻重适度。

u5＝内容正确无误：力求讲解正确无误，不能出现知识性错误。

u6＝讲授内容熟练：熟悉所讲的内容，致使课堂讲授连贯、深刻。

u7＝注意前后呼应：一堂课要有引入、小结，同时还应该交代本课内容在整个知识中的地位、作用，引导学生融会贯通所学知识。

u8＝主次有所区分：对重要的、关键的内容能加以强调。

u9＝举例说明问题：所举例子至少符合下面标准之一，是学生熟悉的事物；对准了学生的难点或问题的要害；所要说明的问题具有典型性或说服力；形象、生动、具体及富有趣味性。

v1＝很好    v2＝好   v3＝较好  v4＝差    v5＝很差

表一：课堂教学定性表

     评语集合

教学基本要求

V1很好 V2好 V3较好 v4差 v5很差

u0仪态端庄亲切  

u1讲话清晰  

u2板书工整  

u3条理清楚好记  

u4讲度掌握适中  

u5内容正确无误  

u6讲授内容熟练  

u7注意前后呼应  

u8主次有所区分  

u9举例说明问题 统计表一，填写课堂教学定量表二

表二课堂教学定量表

权数 V1 V2 v3 v4 v5

u0 C0 u0 1 u0 2 u0 3 u0 4 u0 5

u1 C1 u1 1 u1 2 u1 3 u1 4 u1 5

u2 C2 u2 1 u2 2 u2 3 U2 4 u2 5

u3 C3 u3 1 u3 2 u3 3 u3 4 u3 5

u4 C4 u4 1 u4 2 u4 3 u4 4 u4 5

u5 C5 u5 1 u5 2 u5 3 u5 4 u5 5

u6 C6 u6 1 u6 2 u6 3 u6 4 u6 5

u7 C7 u7 1 u7 2 u7 3 u7 4 u7 5

u8 C8 u8 1 u8 2 u8 3 u8 4 u8 5

u9 C9 u9 1 u9 2 u9 3 u9 4 u9 5表二中uij(i=0,1,….,9;j=1,2,…,5)为统计表二中ui.uj栏中打勾的数目。

现令n为所收回的定性表一的有效张数，构造矩阵A

其中

  （i=0,1,…..,9,j=1,2,…,5）

（2）第一次量化模型

确定权向量C的每一个分量ci（i=0,1,…..,9）,要求ci>=0且

再作D=C.A

其中D＝（d1，d2，d3，d4，d5）

而                    

填写第一次量化表三

表三

很好 好 较好 差 很差

d1 d2 d3 d4 d5

（3）第二次量化模型

确定常数，且

如果，则课堂教学很好

如果则课堂教学为好

如果，则课堂教学较好

如果，则课堂教学为差。

如果，则课堂教学为很差。

比如取

通过建立模糊熟悉模型对教师的课堂教学进行评价，不仅能客观反映教师的素质的真实情况，而且能够使得定性描述定量化。这个那个计算步骤明确，判断简便，还能够分出程度差异，替代了不科学的“印象”评价，具有现实意义。

5-2 最佳方案的模糊决策模型

在许多工程技术的问题中，存在各种不确定的因素，它或具有随机性或模糊性，或即具有随机性又同时具有模糊性。

（1）隶属度与隶属函数模型

对象x具有某种性质的程度差异，可以用【0，1】闭区间上的一个实数来度量。这个数就是隶属度。如果依赖于变量x的不同而改变，则称为隶属函数。隶属函数刻划因子与对象之间的模糊关系，它可以用模糊统计方法确定，也可以评经验判断。

隶属函数可以用来测量在策略集合中的选取不同的策略时，究竟在多大程度上达到目标利用它就能选出最佳方案。

隶属函数：必须满足：

（2）模糊线性加权变换模型

模糊线性加权变换模型如下名词解释：

其中R为模型关系矩阵，A为输入的模糊向量，B为输出的模糊向量， 为因素的权数，要求满足归一化条件名词解释：

实例

考察下面的问题名词解释：如表四所示

某露天矿有5个边坡设计方案，其各项参数根据分析技术结果得到边坡设计方案的参数表四所示，请作出各个方案的优劣排序，选出最佳方案。

表四

项目 方案I 方案II 方案III 方案IV 方案V

可采矿量/万t 4700 6700 5900 8800 7600

基建投资/万元 5000 5500 5300 6800 6000

采矿成本/万元 4.0 6.1 5.5 7.0 6.8

不稳定费用/万元 30 50 40 200 160

净现值/万元 1500 700 1000 50 100首先确定隶属函数

1、  可采矿量的隶属函数

因为勘探的地质储存量为8800万t，故可用资源的利用系数来作为隶属函数为

2、  基建投资的隶属函数

投资约束是《8000万元，所以

3、  采矿成本的隶属函数

根据专家意见，采矿成本元/t，可谓低成本，而最高成本元/t所以

4、  不稳定费用的隶属函数

采用线性函数的隶属函数

5、  净现值的隶属函数名词解释：取下限为0.5百万元，上限为15百万元，采用线性隶属函数

根据各个隶属函数计算出5个方案所对应的不同隶属度如下表五名词解释：

表五

项目 方案I 方案II 方案III 方案IV 方案V

可采矿量/万t 0.543 0.761 0.670 1.000 0.864

基建投资/万元 0.376 0.313 0.333 0.150 0.250

采矿成本/万元 1.000 0.760 1.000 0.400 0.480

不稳定费用/万元 0.850 0.750 0.800 0.000 0.200

净现值/万元 1.000 0.448 0.655 0.000 0.034

由此可知：方案I最佳，方案II次佳，方案IV最差。

露天矿边坡设计实际上是露天采场的环境的设计，只有把边坡设计纳入整个采矿系统的技术与经济效果的综合评价，才能充分发挥边坡工程为矿山企业增加经济效益、保证生产安全的作用，才能选取最佳的边坡设计方案。

目前管理机构迫切需要科学的决策方法，以替代“印象”决策，多目标边坡的模糊决策是科学的定量化决策的一个尝试，具有现实意义。

总结：人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。以上只对模糊数学做了大概讲解，还有很多细节没有介绍。因此，我们必须研究具有模糊件事物的数学模型。应用这种模糊数学模型设计新型的具有模糊逻辑的计算机，更深入、更广泛地模拟人的思维的程序。是计算机具有更高的智能，能处理更为复杂多变的情况提出的问题，更好的为人类服务。

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