建模算法入门笔记-多项式拟合（附源码）

这两天宅在家里闲着是在是没什么意思，就总结一下以前数模时自己学到的一些算法吧，都是一些非常非常基础的算法，就作为学习笔记总结一下学到的最最干货的东西吧，以后学习科研都能用得上，也希望对各位学弟学妹们有所帮助吧，刚好2020MCM/ICM马上快开始了（今年没有参赛），希望对各位参加建模的同学有所帮助。关于数模的一些其他的干货（建模流程、写作、时间安排等等）我都放到这两个视频里面了，感兴趣的同学可以看一下：AV73775318(美赛)、AV66218067(国赛/省赛/校赛)。

多项式拟合

多项式拟合是数据拟合的一种，与插值有一定区别（插值要求曲线经过给定的点，拟合不一定经过给定的点），数据拟合有很多种类型，其中的最小二乘法求线性回归方程相信各位上过高中的人都听说过（没错，在北师大版数学必修三里就讲过最小二乘法，在选修2-3里还有回归分析。。。）但是听说过没掌握不要紧，因为我也没掌握。。。（当时只会用来做题，高考完了没复习过就忘记了）

言归正传，本次介绍MATLAB中三种多项式拟合的方法，我称之为代码法、代码窗口法、窗口法。

0.先说问题：给定以下点（1，9）（2，5）（3，4）（4，4）（5，2）（6，3）（7，2）（8，4）（9，9），要求进行多项式拟合，求出x=5.5、x=10时的y值

可以由上图看出，题目给定的点分布都很“乱”，而且x=5.5与x=10的点都不存在，这时需要拟合曲线，根据曲线的函数，求出对应的y值（这里说一下，因为x=5.5在所给x区间[1,9]内，这时求对应的y值为内插法，反之因为x=10在区间外，此时求y值为外插法。一般用拟合法求内插，外插法多为预测类，还有很多外插的方法，这里不一一赘述，但是也不是一定如此，如本题，10离9不远，因此最后预测的值理论上是较为可信的）

1.代码法

MATLAB代码如下：（使用时只需修改部分数据即可）

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y=[9 5 4 4 2 3 2 4 9];
z=polyfit(x,y,3);
xi=0:1:10;
yi=polyval(z,xi);
plot(xi,yi,x,y,'r*');

其中，z=polyfit(x,y,3);的3指拟合的最高次幂为3，该最高次幂需要不断调整，以得出最佳拟合方案（尽量不要出现欠拟合或过拟合现象即可）

据图可以读出，x=5.5时y约为2，x=10时y约为13.5

该方法较为简便，但是需要自行修改、调整函数系数，而且不能得出拟合曲线的具体函数值。

2.代码窗口法

先输入以下代码，绘出点图：

x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y=[9 5 4 4 2 3 2 4 9];
plot(x,y,'r*')

再按照下图所示操作即可

不同的拟合方法对应的函数都不同，根据函数图像，估计对应的y值即可

3.窗口法

值得注意的是：上述两种方法都能方便地得到函数图像，但是却不能得到具体的拟合函数表达式。而窗口法却能快速得到表达式（但是有的表达式的系数是以概率表达的）。

首先输入给定的x值与y值：x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9];y=[9 5 4 4 2 3 2 4 9];

具体的拟合函数表达式需要视所用的拟合方法的不同而定。

这篇文章就写到这里，有什么意见或建议可以留言，谢谢大家：—）

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