正弦定理的四种证明方法

正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。如下图，在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，△ABC的外接圆半径为r，直径为d，那么a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d。

证法一（作高线）：

过A点作AD⊥BC，交BC于D点，如下图

∴AD/c=sin∠B，AD/b=sin∠C

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理作AC边上的高可得：c/sin∠C=a/sin∠A

∴a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

证法二（等面积）：

△ABC的面积S=1/2·bcsin∠A=1/2·acsin∠B=1/2·absin∠C

上式同时除1/2·abc即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

证法三（作外接圆）：

作△ABC的外接圆O，半径为r，直径为d，连接AO并延长交⊙O于D点，连接CD，如下图

∵同弧所对圆周角相等

∴∠B=∠D，b/sin∠B=b/sin∠D

∵直径所对圆周角为90度

∴b/sin∠B=b/sin∠D=2r=d

同理可得：a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=2r=d

证法四（用向量）：

（1）当△ABC为锐角三角形时，作向量BC、BA、CA以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图

∵BC+CA=BA

∴n·（BC+CA）=n·BA（两边同时与n作数量积）

∴n·BC+n·CA=n·BA

∣n∣∣BC∣cos90°+∣n∣∣CA∣cos(90°-∠C)=∣n∣∣BA∣cos(90°-∠B)

b sin∠C=c sin∠B

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

（2）当△ABC为直角三角形时，不妨令∠B=90°

立即得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C=b=2r=d(r为外接圆半径）

（3）当△ABC为钝角三角形时，不妨令∠B为钝角，作向量BC、BA、AC以及垂直于BC的向量n（以加粗表示向量），如下图

∵BA+AC=BC

∴n·（BA+AC）=n·BC（两边同时与n作数量积）

∴n·BA+n·AC=n·BC

∣n∣∣BA∣cos(∠B-90°)+∣n∣∣AC∣cos(90°+∠C)=∣n∣∣BC∣cos90°

b sin∠C=c sin∠B

∴b/sin∠B=c/sin∠C

同理可得a/sin∠A=b/sin∠B=c/sin∠C

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