求解一元三次方程的方法(初中生可看！)

       Hello，大家好！作为一名2023年中考生，2026年高考理科生(对，非常自信将来学理)，本人十分喜爱数学，原本想着初来乍到的先立个flag，但是觉得没有意思，干脆上来就开个大——求解一元三次方程的通法——卡尔丹公式！！！

 一.历史渊源

       人们很早就掌握了一元二次方程的解法(初三第一单元)，但是对一元三次方程的求解过程却进展缓慢，1494年，意大利数学家帕西奥利在对三次方程进行过艰辛的探索后得出极其悲观的结论：“在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。”在1500年，费罗终于得到了缺项三次方程：x^3+mx+n=0(m,n为常数)的求根公式。在此基础上，塔塔利亚终于在1541年完全解决了一元三次方程的求根问题。至于为啥公式叫卡尔丹公式······这里就不予解释了。

       那么，本期专栏就带领大家走走前辈们探索过的路，只需要初中水平即可哦~~~

       Let's go!   

二.缺项一元三次方程

       首先，让我们认真审视一下这个缺项三次方程：x^3+mx+n=0，它与一般的一元三次方程的区别是没有二次项，根据代数基本定理，它有三个解。

       令x=u+v，则x^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3u^2v+3uv^2=u^3+v^3+3uv(u+v)=u^3+v^3+3uvx=0,那么，根据等式性质，有x^3-[u^3+v^3+3uvx]=0，即x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0，注意到这个式子和x^3+mx+n=0同时成立，那么一定有：一次项系数等于一次项系数，常数项等于常数项，即-3uv=m①，u^3+v^3=-n②。将①式左右同时立方可以得到：-27u^3v^3=m^3③，结合②③,设A=u^3，B=v^3，那么-27AB=m^3，A+B=-n，不要忘记我们的m和n都是常数哦，凭借这两个方程，我们就可以解出A和B啦！再对A和B开立方根，就可以得到u和v了，那么这个三次方程的一个解X1就等于u+v啦！！！

       但是，这个方程应该有三个解才对啊，为了求出另外两个解，我们需要一个新朋友——韦达定理来帮我们，什么？你说韦达定理不是只适用于一元二次方程吗？实际上，韦达定理适用于任意次数的一元方程，其一元三次方程形式为：X1X2X3=-d/a；X1X2+X1X3+X2X3=c/a；X1+X2+X3=-b/a，对于先前的x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0，韦达定理告诉我们X1X2X3=u^3+v^3；X1X2+X1X3+X2X3=-3uv；X1+X2+X3=0，将先前解出的X1代入这三个等式，解剩下的X2,X3那不是易如反掌嘛~~~

       到了这里，你就会发现，你已经做完了1500年大数学家费罗的工作，数学就是这样，任何人都可以做出一流的发现，前提是你愿意去努力！那么，让我们继续，去把塔塔利亚的工作也完成了吧！！！

三.一般一元三次方程

       我们已经了解了怎样求解缺项一元三次方程的方法了，那么怎样去求解一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a,b,c,d为常数，a≠0)呢？其实方法异乎寻常的简单，基本思路是将一般形式的方程转化为特殊形式，如果令x=y-b/3a，用y-b/3a把ax^3+bx^2+cx+d=0中所有的x都替换掉，再进行展开合并，你就会惊奇地发现：二次项相互抵消掉啦！！！我们得到的新方程就是关于y的缺项一元三次方程，利用上面的方法解出三个y之后，依次代回到x=y-b/3a中，注意a,b都是常数，那么这个方程实际上就是关于x的一元一次方程，这谁不会解啊？三个y依次对应三个x，原来的方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个解就是这三个x了。

       那么，一元三次方程的解法就介绍到这里了，以后会考虑出一下一元四次方程的求解过程哦。

四.给个关注吧

       打字不易，给个关注再走吧/(ㄒoㄒ)/~~