静电场（二）

这一篇文章接着上期电场，讲电荷连续分布与高斯定理。这里是上一篇文章传送门，讲的是库仑定律与电场概念。静电场（一）

上期最后留了一个题目，这里给出答案：

下面讲电荷连续分布。宏观上看带电体是可以把电荷看成连续分布的，有体分布，面分布，线分布，这时引入体/面/线电荷密度。

对于一个带电体，有dq=ρdV，ρ为体电荷密度。如果电荷分布很薄一层，无须研究纵向分布，便可看作面分布，面就是几何面，有dq=σdS，σ为面电荷密度。如果电荷分布可以看作分布在一根几何线上，就有dq=λdl，λ为线电荷密度。

处理连续带电体时往往用微元法，无限分割成点电荷组，最后用积分叠加。通过一个例题感受一下：

试求一带电圆形线轴线上的场强分布。电量为Q，半径为R。

从这个题我们也能发现，对称性分析是电磁学里一个威力强大的武器，今后很多电磁学的问题都可以用对称性分析简化问题。

下面读者朋友用上面学的方法练习一下吧：

试求一根长度为l，电量为Q的带电线中垂面上场强分布。

由第一个例题我们还能举出很多题目，比如我把圆形线改成圆面，球体，或者正方形线框等等求轴线上场强。我们要学会举一反三。

在说高斯定理之前，我们先进行铺垫。先讲电场“通量”。通过通量与环量（下一篇讲）的引入，我们就有高斯定理和环路定理描述静电场。后面学习磁场也是这样的。

可以这样认为，场是一部分空间中连续分布的量的总和，有标量场（如温度分布形成的场）与矢量场（如流速分布形成的场），电场显然是个矢量场。我们就借助流速场来描述看不见的电场。

这一篇文章看通量。可以想象流速场中流体流出的“源”与流入的“汇”，流速场中可用流量表示出来。

在闭合面S上取一面元dS，乘以该处外法线单位矢量就得到面元矢量dS。将该处速度矢量v与dS点乘得到单位时间流过面元的流体体积vdScosθ，而对于闭合面S：

若该式大于0，则有流体从S中流出，S中有源（如上图）；若该式小于0，则有汇。若等于0，则无源无汇，或是流入与流出抵消，取更小的闭合面再算流量来分辨。

电场虽然没啥东西在流动，但仍可以类比流速场，计算电场对闭合面的面积分（把上式中v改为E），称为通量。

下面正式定义电通量（ΦE）：

通过dS的电通量为dΦ=E·dS=EdScosθ，（电通量应该写作ΦE的，但我偷懒，下面统一写成Φ）其物理意义为穿过dS的电场线根数。它跟我们学过的场强有何关系呢？这里就人为定义一个电场线数密度：令单位面积内电场线根数等于该处场强大小，且这个面是垂直于电场线的。这样，我们也能从电场线疏密程度反映场强大小，就像等高线地形图里等高线越密该地越陡，看着更直观。但是请不要把电通量与电场线数密度混淆，它们数值上是相等的，但就像化学里的式量与摩尔质量，数值相同但意义不同。电场线到底是人为假想的，并不存在，所以所谓“电场线数密度”其实并不存在，只是定义出来可以与场强有关系，但电通量是存在的。

把目光从面元转向整个面，对于一个面的电通量就要把面元电通量叠加，就要积分。对于一个任意曲面的电通量即为dΦ对该面的面积分，对于一个闭合面那就在面积分上画个圈（见上面那个表示流量的式子）。这里还要统一规定一下面元矢量的方向，取闭合曲面外法线方向。比如下图中穿出的地方θ1＜π/2，dΦ1＞0，穿入的地方θ2＞π/2，dΦ2＜0。

说完电通量，下面就可以讲高斯定理了。高斯定理可是麦克斯韦方程组4个式子的第一个，相当重要。这里先摆出高斯定理的内容：

要证明这个定理，我们先熟悉一个数学概念：立体角（单位是球面度）。不用完全理解，就是知道一下，有时后面用到也不至于一脸懵罢了。

看了这四张图想必读者大概也明白了，那下面证明高斯定理：

证明时应注意到电场的球对称性。

高斯定理说明闭合面内电量决定该闭合面的通量，闭合面内电量不为0则通量不为0，若为正电则有“源”，若为负电则有“汇”。

闭合面外的点电荷对闭合面通量为0，但对电场是有贡献的，这个观念要有。

同时，由于推导高斯定理需要用库仑定律，那么库仑定律电力平方反比律的形式就尤为重要，如果不是平方，那么高斯定理不再成立，至少形式要变，如果是这样那整个电磁学乃至其他一些物理体系都会受到动摇。这里又一次感受库仑定律的重要性。

高斯定理作为静电场的基本定理之一，要做一些练习以巩固，下一篇文章的开头会给出几道高斯定理的习题。

三连哟