辅助角公式:
,其中tanφ=b/a(a>0).
该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数,以此来求解有关的最值问题、周期问题等。
1、推导过程
变形得
为利用两角和差公式化简,设-π/2<φ<π/2
令
(注意到a>0)
则
其等价于tanφ=b/a
则
即
其中tanφ=b/a
若令
则
(b>0)
其等价于tanφ=a/b
则
即
其中tanφ=a/b
注意:两种令法中初相用了同一个字符φ表示,但含义不同,要区分。
2、分析意义
我们需要分析公式中每一个量的意义。
先看等式左边是两个分别增大(或减小)一定倍数的正弦与余弦函数的和。
再看等式右边是一个增大(或减小)一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。
从代数意义上讲,辅助角公式是为了将几个同频率的正弦型函数求和,转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着ω相同,所以对于辅助角公式而言,为了方便起见,我们只讨论ω=1时的特殊情况。在这种情况下,对于一个正弦型函数,我们只有A(增大的倍数)与φ(初相) 两个量需要讨论。
我们可以把A看作大小,把φ看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。
辅助角公式与极坐标系有什么关系吗?
简化验证
简化问题,使a=b=1,得
又∵
∴
而在极坐标系中平面向量的加即为
(如下图)
两者之间有异曲同工之妙。
即sin与cos都只是单位向量,
而a、b两者是单位向量的变化幅度,
是两向量和的模,φ则是和向量与横轴的夹角。
推广延伸
之前的验证只是在a=b=1下进行的。其实,这一结果具有普适性。
注:这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式,但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘(即数量积)。
3、疑问
为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)?其实是在分类讨论a>0或b>0的时候,已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了,此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k∈Z)。而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变,况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示,使得公式更加简洁明了。
个人推荐第一种书写形式,等式左边读时,先读a再读到b,右边读到分数时先读分母再读分子,也是先读a再读到b,而且有三个加号,这样记忆不易出错。
当然本文开头的书写形式也推荐,把一个长式子分两段来记,减少了记忆难度,其次若忘记了φ等于多少,还可以根据第一段公式逆推。
最后将公式汇总如下
4、提出者
李善兰,出生于1811年 1月22日,逝世于1882年12月9日,浙江海宁人,是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家,创立了二次平方根的幂级数展开式,研究各种三角函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式(现称“自然数幂求和公式”),这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。
「艾尔登法环」梅琳娜手办开订 立体手办▪
万代「艾尔登法环」白狼战鬼手办开订 立体手办▪
「夏目友人帐」猫咪老师粘土人开订 立体手办▪
「五等分的新娘∬」中野三玖·白无垢版手办开订 立体手办▪
「海贼王」乌索普Q版手办开订 立体手办▪
良笑社「初音未来」新手办开订 立体手办▪
「黑岩射手DAWN FALL」死亡主宰手办开订 立体手办▪
「盾之勇者成名录」菲洛手办登场 立体手办▪
「魔法少女小圆」美树沙耶香手办开订 立体手办▪
「咒术回战」七海建人粘土人登场 立体手办▪
「五等分的新娘」中野二乃白无垢手办开订 立体手办▪
「为美好的世界献上祝福!」芸芸粘土人开订 立体手办▪
「公主连结 与你重逢」六星可可萝手办开订 立体手办▪
「女神异闻录5」Joker雨宫莲手办开订 立体手办▪
「间谍过家家」约尔・福杰粘土人登场 立体手办▪
「街角魔族 2丁目」吉田优子手办开订 立体手办▪
「火影忍者 疾风传」旗木卡卡西·暗部版粘土人登场 立体手办▪
「佐佐木与宫野」宫野由美粘土人开订 立体手办▪
「盾之勇者成名录」第2季拉芙塔莉雅手办开订 立体手办▪
「咒术回战」两面宿傩Q版坐姿手办开订 立体手办▪
「DATE·A·BULLET」时崎狂三手办开订 立体手办▪
「狂赌之渊××」早乙女芽亚里粘土人开订 立体手办▪
「魔道祖师」魏无羨粘土人开订 立体手办▪
「新·奥特曼」奥特曼手办现已开订 立体手办▪