一．流体简介

流体（fluid）包括气体和液体，正如其名，其最显著的特征就是具有流动性。流体流动性的表现在于它的各部分之间很容易发生相对运动，这也使得流体没有固定的形状，其形状往往根据具体容器的形状而定。

对于液体而言，由于液体分子间距离较近，分子之间的作用力（范德华力）较大，因此不易被压缩，具有相对稳定的体积，可以形成自由表面。而相较而言，气体分子间距大，范德华力小，在外力作用下，更容易被压缩，没有固定体积，不存在自由表面，因此常常弥漫在整个容器之中的空间。

如果流体各部分之间处于相对运动状态，或多或少会产生黏性力（一种切向力）阻滞其相对运动。关于这种黏性力，我们仅做简单的介绍，想要深入了解，可以自行查阅相关资料。

二．理想流体模型

    在具体问题中，当流体的可压缩性和黏滞性对于流体运动的影响只是次要的，我们可以构建理想模型，把流体看作是绝对不可压缩、完全无黏性的理想流体。

     虽然忽略了流体的黏性力，但是对于流体内部的压力，我们还需要考虑。无论是静止流体还是流动流体，内部各部分之间，总是存在垂直于各部分的作用面之间的压力F.而为了衡量流体内部的压力的强度，我们用作用面内单位面积上的压力定义一个物理量，也就是压强p，记作： p=F/S ，单位为帕（斯卡），符号为Pa.

同时，我们发现，对于静止流体内部，压强是处处存在的。并且静止流体内部压强的大小与方向无关，与流体本身的密度，还有该点位于流体内部的深度有关（这里要指出，深度指的是从流体与外界接触的表面到该点的深度，与容器形状无关）。对此，我们可以加以证明。

首先，我们来证明“静止流体内部压强的大小与方向无关”。为了方便研究，我们可以取一个高为h的小的三棱柱（如图是侧视图），

我们用p1，p2，p3，分别表示流体其他部分的压力f1，f2，f3各自在AC，BC，AB产生的压强。根据压强的定义式，推出F=p S，由此，可以得到：

f1=p1·（b·h）

f2=p2·（a·h）

f3=p3·（c·h）

由于流体三棱柱的体积非常小，因此，相比于f1，f2，f3，它所受到的重力可以忽略不计。由于处于静止状态，因而受力平衡，可作出力的矢量三角形，

得到这样的几何关系，根据正弦定理，可知：

f1：f2：f3=sin β：sin α：sin γ

在原来的三棱柱中使用正弦定理，得到：

b：a：c=sin β：sin α：sin γ，

两式相比，得到f1/b=f2/a=f3/c，

再由f1=p1·（b·h），f2=p2·（a·h），f3=p3·（c·h），

即可得到，p1=p2=p3，

由于三棱柱体积非常小，我们可以将p1，p2，p3视作是流体其他各个部分，对于流体内部一点的压强。即证得“静止流体内部压强的大小与方向无关”。

再证明静止流体内部压强的大小与流体本身的密度，还有该点位于静止流体内部的深度有关。

在静止的流体中，任取一个底面为正方形（正方形与水平面平行），高为深度的流体柱进行受力分析如下：

流体柱的重力 G =mg=ρ V  g ，方向竖直向下；

作用在流体柱表面的大气压力 F。=p。S,方向竖直向下；

作用在流体柱底面的流体压力 F=p S,方向竖直向上；

作用流体柱的侧面上的压力都是水平方向的，对应平衡。

因为流体柱在竖直方向上受力平衡，因此，可得：

F=F。+G，即p S=p。S+ρ V  g，

两边同时消去S，即可得到：

p=p。+ρ·g ·h，

由此，我们还可以推知，静止流体内部深度差为△h的两点之间的压强差△p=ρ·g ·△h

三．浮力与浮心

由于对于在静止流体内部的两个深度不同的点而言，它们的压强是不同的，深度小的点的压强总是小于深度大的点的压强，因此会产生压强差。如果在流体内部浸没一个物体（不溶于该流体，不吸收该流体），那么由于这个压强差的存在，物体在流体中受到的合压强总是竖直向上的，换言之，总是有一个合压力竖直向上，我们常常把它称作浮力。

关于浮力的研究，早在古希腊，就有一位学者，就提出了浮力的一种计算方式——浸在流体中的物体所受到的浮力等于物体排开的流体所受到的重力，这就是我们耳熟能详的阿基米德原理，用公式表示即为：

F浮=ρ· g·V排

关于这个原理，我们可以尝试着证明一下。

第一种方法，我们可以根据浮力产生的原因。浮力本身是由于流体对于浸没在其中的物体（或物体的一部分）的上下压强差而产生的。对于某个不规则的物体，可以通过微元的思想，把物体分成无数个底面与液面平行，底面积非常小的圆柱体，我们将它们的高度用Hi（i=1，2，3，···，n）表示，底面积用Si（i=1，2，3，···，n）表示。对于其中的任意一个圆柱体，可以得到上下压强差△pi=ρ·g·Hi，因此每一个小圆柱体受到的浮力为F i=△pi·Si=ρ·g·Si·Hi=ρ·g·Vi.再对F i进行求和，即可得到：

F浮=∑F i=∑ρ· g·Vi=ρ· g·V排

我们还可以用等效的思想去证明。假设浸在流体中的物体被与之相同体积、形状的流体所取代，那么和之前一样，流体仍然处于平衡状态。因为这用于取代的流体是处于平衡状态的，并且只受到周围流体的作用力以及其自身的重力，因此必然有，周围流体对该部分流体的合力与该部分流体的重力是一对平衡力。即可证明得到阿基米德原理。

类似于重力的作用点为重心（G），浮力的作用点，我们把它叫作浮心（B）。并且，根据阿基米德原理，不难知道，浮心B实际上就是物体浸没在流体中的那部分的重心G’。

对于漂浮在流体面上的物体而言，G与B的位置关系着该物体在其上漂浮的稳定度。当G与B同时处于竖直线上时，该物体是平正的；但当B偏离了G所在的竖直线上时，物体会发生一定程度的侧倾。当偏离程度较小时，重力G会和浮力FB构成一对力偶，产生回复力矩，使得物体回复到平正位置；但当偏离程度过大，就很有可能发生侧翻。

四．流体的流动

为了描述流体的运动，类似于研究质点的运动时我们需要绘出质点的运动轨迹，我们会在流体中作出一系列的曲线（即流线（stream line）），使得曲线上的每个点的切线方向，都与该点处流体的运动方向相同。一束流线，又可以形成流管（stream tube）。由于流管外围的流线上任意一点的速度都是沿着切线方向，所以，流管中的流体不会穿出流管，流管外的流体也不会进入该流管中。

流体在流动时，在不同位置的速度不尽相同，并且，哪怕是流经同一地点，其速度也会随着时间发生改变。但是，在某些常见情况下，虽然速度在各处不相同，但在各处的流速可以看作不变（也就是说，各处的速度不会受到时间的影响），这种流动，给它起名为定常流动（steady flow）。

对于定常流动的流体（为了方便研究，视作理想流体），假设在流管中有S1，S2两个截面，流体在两个截面的速度分别为v1，v2，流体密度为ρ。由于理想流体不可压缩，因而流过S1，S2的流量是相同的，即ρ·v1·S1=ρ·v2·S2，进而得到ρ·v·S=恒量，若不考虑ρ的变化，则可以得到S·v=恒量，该式又被称为不可压缩流体做定常流动的连续性方程，由此式，我们可以得到一个常用规律：不可压缩流体做定常流动时，在同一流管中，横截面积S小的地方，速度大；反之，S大的地方，速度小。

五．伯努利方程

对于理想流体的定常运动，我们可以发现，流体中的某点的动压强p，流速v，高度h之间存在着一定的关系，下面是关于这一关系的推导：

在流体从位置1（两端分别为A1，A2）到达位置2（两端分别为B1，B2）的过程中，有重力做功，以及流管中前后部分的流体对它做的功（后面的流体做正功，后面的做负功）。

当流体远动所用时间△t很短时，我们可以认为A1->B1，A2->B2，两端的运动的位移是很小的，因此，在这段时间内，可以看作A1与B1处的S1与v1都不变，同样地，A2和B2处的S2与v2都不变。所以，我们可以得到对该段流体所做的总功

W=（p1·S1·v1-p2·S2·v2）△t

因为理想流体不可压缩，所以，两端的体积变化相等，均为△V，进而，我们得到W=（p1-p2）△V.

所以该过程中，能量的变化量为：

E2-E1=[mv2²/2+mgh2]-[mv1²/2+mgh1]

=ρ△V[（v2²/2+gh2）-（v1²/2+gh1）]

由功能原理W=E2-E1，得到：

（p1-p2）△V=ρ△V[（v2²/2+gh2）-（v1²/2+gh1）]

整理得，

p1+ρv1²/2+ρgh1=p2+ρv2²/2+ρgh2）

该式称作伯努利方程（Bernoulli equation），表明：在做定常流动的液体中，在同一流管中的任意一点处，流体每单位体积的动能和势能以及该处压强之和是个常量。

六．*拓展资料——流体的黏性及黏性力（素材来源自网络，侵删）

（撰写时间：2020年11月7日     撰写人：安庆一中奇点物理社2020级副社长 张睿 ）