有哪些值得推荐的数学分析教材或者参考书？

八卦谈佚名 ▪ 2024-04-15 12:24:10

1. 一般原则

1.1 为什么要选书

数学教材怎么写，是一个教育学的问题，教育学属于社会科学，社会科学不存在标准答案
一本好的数学分析教材，反映的是作者对数学分析乃至整个现代数学的认识，这种认识当然因人而异
从读者角度来说，人和人的成长经历不同，对教学方式的偏好也不同，有的人只看Bourbaki的书就能学会数学，有的人思考任何问题都需要在黑板上画一个图

综上，学习数学分析一定要选择适合自己的书

1.2 选一本就够了吗

作者写书是要把Ta的数学三观全都写到书里
读者读书则是要建立属于Ta自己的数学三观
就算读者选到一本最适合Ta的教材，作者的三观也未必完全符合读者的三观
所以，只看一本书是不够的，要看很多本才能达到能够凭此建立三观的程度，但是另一方面，我们的时间是有限的，不可能把很多书都看完

综上，以一本为主，对其精读，然后以其它书做参考，才是合理的做法

所以真正的问题是：哪一本书是适合精读的，哪些书适合做参考

1.3 选国外的还是选国内的

外国有很多，我们这里指的国外当然仅仅指发达国家，把中国这个发展中国家跟所有发达国家的总和去比较是不公平的，国外当然也有不那么好的教材，只是它们不会被引进到中国，所以我们看不到
中国最好的数学分析教材的平均水平的确略逊于国外最好的几套数学分析教材
国内教材的主要好处是：微积分和数学分析是一起学的，跟高中知识衔接较好
国外数学分析教材往往只讲分析而不讲微积分，因为国外的学生在高中学过微积分，后面将介绍来自美、俄、德、法、中的五套教材作为精读的备选

综上，若国内学生选择国外教材，一定要自己补充微积分的知识

1.4 选经典的还是选新出的

经典之所以成为经典，就是因为它们真的很经典

Whittaker-Watson的《A course of Modern Analysis》（1902）
Goursat的《A Course in Mathematical Analysis》（1904）

新书有新书的好处：

定义更合理、结论更强、证明更简单、观点更现代
新书也更容易买到或更容易获取电子版
作者仍在世的书会不断更新，书中的各种错误会得到修正，且读者的水平也比以前的时代提高了

综上，最好还是选择能跟上时代发展的新书作为精读的备选，经典老教材可以用来参考和比较

2. 好书的看点

2.1 实数的定义

实数理论是数学分析的基础，好的数学分析书必须讲清楚什么叫实数

实数定义的几种定义方法：

无穷小数法：

优点：直观，易于证明完备性
缺点：不易定义四则运算、与实数不是一一对应的

Dedekind分割法

优点：可以证明各种性质（包括四则运算、完备性等）
缺点：不够直观、证明过程较冗长

Cantor/Cauchy基本列法

优点：可以证明各种性质（包括四则运算、完备性等）
缺点：需要先讲数列极限、需要等价关系和商集的知识

公理法：

优点：不必谈论具体构造，直接从公理出发
缺点：公理系统的相容性依赖于前三种构造

四种方法各有优劣，但都是很好的方法，最重要的是看教材是否能讲清楚它们

2.2 微积分基本定理（Newton-Leibniz formula）

微积分基本定理是数学分析（一）的终极目标
入门版： $F(x)$ F(x) 连续可导、 $f(x)$ f(x) 是其导数
标准版： $F(x)$ F(x) 可导、 $f(x)$ f(x) $Riemann$ Riemann可积，且 $f(x)=F'(x)$ f(x) = F'(x)

上述两版本存在的问题：一个函数的导数不一定 $Riemann$ Riemann 可积、 $Riemann$ Riemann 可积的函数不一定是某函数的导数

推广版本：

$F(x)$ F(x) 可导， $f(x)$ f(x) $Riemann$ Riemann可积，且 $f(x)=F'(x)$ f(x) = F'(x)可以在有限多个点处不成立
$F(x)$ F(x) 可导， $f(x)$ f(x) $Riemann$ Riemann可积，且 $f(x)=F'(x)$ f(x) = F'(x)可以在可数多个点处不成立
$F(x) Lipschitz$ F(x) \ Lipschitz 连续， $f(x)$ f(x) $Riemann$ Riemann可积， $f(x)=F'(x)$ f(x) = F'(x)几乎处处成立（在 $Riemann$ Riemann 积分中可以得到的最强版本的微积分基本定理）
$F(x)$ F(x) 绝对连续、 $f(x)$ f(x) 是其几乎处处导数（ $Lebesgue$ Lebesgue 积分版，回归到入门版的简洁形式）

上面几个例子可以说明 $Riemann$ Riemann积分的局限性和引入 $Lebesgue$ Lebesgue 积分的必要性

2.3 隐函数定理

隐函数定理是数学分析（二）中多元函数微分学最重要的内容之一（另一个是泰勒公式），其各种推论对于理解流形的概念非常重要
流形的概念是条件极值、曲面积分等后续内容的基础
隐函数定理是微分学的顶峰，同时对积分学也有重要的作用

隐函数定理的常见证明方法：

消元法：

优点：传统方法、思路清晰、易于理解
缺点：证明过程繁琐、无法推广到无穷维空间

极值法：（不太推荐，技巧性太强）

优点：证明过程简洁
缺点：技巧性较强、只适用于欧式空间

不动点法：

优点：现代方法、证明过程简洁、可推广到 $Banach$ Banach 空间
缺点：需要度量空间、压缩映照原理等准备知识

2.4 重积分换元法

重积分换元法是整个数学分析中最难的定理之一，严谨的证明需要很多页数去描述，很多常见的数学分析教材对这个定理的处理都是不严格的

重积分换元法的常见证明方法：

最简微分同胚法：

优点：传统方法
缺点：需要微分同胚和单位分解的知识

$Schwartz$ Schwartz 法（1954）：

优点：现代方法、易与 $Lebesgue$ Lebesgue 积分对接
缺点：需要无穷范数和相应的有限增量定理

$Lax$ Lax 法：

优点：后现代方法、证明过程简洁
缺点：对区域边界要求较高、需要先讲曲面积分

2.5 如何在数学分析中讲拓扑、实分析、复分析、泛函分析、微分流形......

数学分析中的很多定理其实是拓扑、泛函中某些更加一般的定理在欧式空间中的特殊情况
暂时忘掉欧式空间中那些不相关的结构、只保留最必要的结构，反而可以使定理得到最简化，让证明思路更加清晰
如果不引入更高级的知识，数学分析中的很多结果是是讲不清楚的

有理函数的不定积分依赖代数基本定理，而代数基本定理依赖复分析
积分学中的很多结果在实分析中有更优美的形式
$Green$ Green 公式、 $Gauss$ Gauss 公式和 $Stokes$ Stokes 公式，都是流形上的一般 $Stokes$ Stokes 公式的特例

数学分析中高级知识的各种讲法：

$\times$ × 我觉得这东西很牛逼、很流行、很现代，所以要讲给你们听
$\sqrt$ √ 我觉得这东西对理解数学分析很有帮助，所以要讲给你们听
$\times$ × 我把高级知识课本里的定义、定理堆在这儿，你们就应该能学懂了
$\sqrt$ √ 我结合数学分析的具体问题，把高级知识改造成更容易理解的形式

3. 精读书籍

以下推荐的书籍仅代表刘老师本人观点

3.1 Baby Rudin（美）

实数定义： $Dedekind$ Dedekind 分割

证明细节未给出，留作习题

微积分基本定理：只讲解标准版
隐函数定理：不动点法
重积分换元法：最简微分同胚法
高级内容：

度量空间
微分形式的 $Stokes$ Stokes 公式（书的倒数第二章，但没有讲透彻）
$Lebesgue$ Lebesgue 积分（没讲充分）
本书后两章可以不看，补充内容可以看其他书籍，如Stein的《Fourier Analysis》可以直接取代卓里奇第十八章

其它特色：清晰、简明（可能过于简明，好不好分人）、习题多且难

3.2 卓里奇（俄）《数学分析》（第一卷）（第二卷）

实数定义：公理法，简单粗暴的俄式风格
微积分基本定理：有限例外点版本的定理，传统讲法，未涉及 $Lebesgue$ Lebesgue 积分
隐函数定理：消元法（第一册）+不动点法（第二册）
重积分换元法：最简微分同胚法（没有Rudin讲得清晰，但解释得多，更易理解）+ $Schwartz$ Schwartz 法
高级内容：

度量空间的拓扑学
赋范空间的微分学
一般流形上的积分学

其它特色：俄式讲法、非常传统、重视物理应用，大量习题与物理有关

3.3 Amann-Escher（德）《Analysis I》《Analysis II》《Analysis III》

实数定义： $Dedekind$ Dedekind 分割+ $Cantor$ Cantor 基本列

逻辑通顺，讲法高级，但使用抽代的语言讲解，对初学者极度不友好

微积分基本定理：极简版+ $Lebesgue$ Lebesgue 积分
隐函数定理：不动点法
重积分换元法： $Schwartz$ Schwartz 法（ $Lebesgue$ Lebesgue 积分）
高级内容：所有你能想到的都讲了（实分析、复分析、泛函分析等等等）
其它特色：

完全的现代观点、对传统内容交代不足，一定要重视传统，追根溯源
内容过于丰富、不要奢望完全掌握
适合自学（至少书作者是这么希望的）

3.4 Godement（法）《Analysis I》《Analysis II》《Analysis III》《Analysis IV》

实数定义： $Dedekind$ Dedekind 分割（极简）+公理法

聊天风格，各种证明方法的优劣讲解得很清楚，思维过程流畅自然

微积分基本定理：标准版+可数例外点
隐函数定理：不动点法
重积分换元法：（调和分析味儿的） $Schwartz$ Schwartz 法
高级内容：实分析、复分析、泛函分析、傅里叶分析等等都有，你甚至能学到模形式
其他特色：

聊天风格、话痨、经常跑题（如：用七八页篇幅分析二战后美苏冷战和朝鲜战争等国际形势，然后话题突然转到Andrew Wiles证明费马大定理等），喜欢看闲话的同学可以去看看
老头子写书非常注重传统

内容过于丰富、不要奢望完全掌握
法式章节顺序（多一种讲法，多一种证法，多一种理解）

3.5 陈天权（中）《数学分析讲义》

实数定义：公理法+ $Dedekind$ Dedekind 分割（附录）
微积分基本定理：标准版+可数例外点
隐函数定理：不动点法
重积分换元法： $Schwartz$ Schwartz 法（ $Lebesgue$ Lebesgue 积分）
高级内容：除了模形式，其它该讲的基本都讲了
其它特色：

补充教材、注记和参考文献极具价值
习题极好、但是可能做不完
部分内容与其它教材有改动地雷同
文本比较粗糙，较难理解

4. 适合参考的书籍（国外）

4.1 陶哲轩（美）《陶哲轩实分析》

此书的章节安排和选材与Baby Rudin类似，可视为对Baby Rudin的补充
缺少重积分换元法、流形上的积分等重要内容，所以只能做参考
第5章用 $Cantor$ Cantor 基本列法定义实数，是其它书中少见的讲法，最具参考价值
陶哲轩文风轻松亲切，不像Rudin那么冷峻，对很多东西背后的思想解释的比较到位
中译本质量极高，译者力图还原了原文轻松亲切的口语化文风

4.1 Apostol（美）《Mathematical Analysis》

这是一本在各种意义上都和Baby Rudin互补的书

Baby Rudin的三个版本出版于1953年、1964年和1976年，此书的两个版本出版于1957年和1974年
两者都讲解了 $Riemann-Stieltjes$ Riemann-Stieltjes 积分
Baby Rudin中隐函数定理用的是不动点法，此书用的是极值法
Baby Rudin中重积分换元用的是最简微分同胚法，此书用的是 $Schwartz$ Schwartz 法
对 $Lebesgue$ Lebesgue 积分的处理，Baby Rudin用的是测度论讲法，此书用的是泛函讲法
此书包含一些Baby Rudin的内容（如 $Fourier$ Fourier 分析和复分析），但是完全没讲流形上的积分
Baby Rudin语言简练，此书有些话痨（这是好事）
Baby Rudin的习题比较难，此书习题较容易

4.3 阿黑波夫-萨多夫尼奇-丘巴里阔夫（俄）《数学分析讲义》

这是一本比较新的书，初版出版于1999年，最新版出版于2004年，中译本出版于2006年
实数理论部分讲的很糟糕，其它看点也泛善可陈
包含了很多别的书里没有的现代或古典内容：

滤子基上累次极限存在且相等的条件（强于卓里奇的结果）
复合函数高阶导数的 $Faa di Brunuo$ Faa\ di\ Brunuo 公式（陈天权的习题）
$Lagrange$ Lagrange 反演公式
$Kepler$ Kepler 问题与 $Bessel$ Bessel 级数
无穷行列式的 $Poincare$ Poincare 定理

4.4 菲赫金哥尔茨《微积分学教程》

国外的数学分析教材往往缺乏微积分的内容，此书正好补足这个缺陷
这套书包含非常丰富的例题，如：

椭圆积分的处理方法
数 $e$ e 的超越性证明
各种稀奇古怪的积分、级数的计算
$Lagrange$ Lagrange 反演公式
$Kepler$ Kepler 问题与 $Bessel$ Bessel 级数
附录讨论了 $Moore-Smith$ Moore-Smith 的“网”的概念，以及基于此的一般极限理论，这是滤子基方法之前的一种极限理论

4.5 吉米多维奇（俄）《数学分析习题集》

此书有多种版本，只推荐高教社没有解题过程的版本
此书被卓里奇强推，卓里奇求学和教学阶段都使用吉米多维奇。精读卓里奇《数学分析》时，建议以吉米多维奇作为参考，卓里奇上的习题一般偏难，而且不强调计算，需要用吉米多维奇来补充

做题的目的：

检查自己是否学懂了定义和定理
锻炼计算能力，把计算变成一种本能，变成肌肉记忆

认为计算不重要的人，可能还没进入到研究阶段，可能还只是处于学习阶段，因为数学系后续课程中，计算越来越少，会给人一种计算不重要的错觉，但是从学习阶段过渡到研究阶段时会发现，不理解一个东西时，可以通过大量计算相关例题培养出经验和直觉，厚积薄发
别看题解，做错了就记下题号，过几天再做

4.6 Biler, Witkowski（俄）: Problems in Mathematical Analysis

如果吉米多维奇不能满足你，可以试试这本，保证欲仙欲死
第一题：Show that an irrational power of an irrational number can be rational.
第二题：Prove that if $c>83$ c > \frac{8}{3} , then there exists a real number $θ$ \theta such that $[θcn]$ [\theta^{c^n}] is prime for every positive integer n.
像第二题这样的变态题目，本书还有1333道，但好在后半本有答案，大部分答案配参考文献
人生苦短，慎刷此书

4.7 Stein, Shakarchi（美）: Princeton Lectures in Analysis（丘赛-分析&PDE 必备）

书是好书，但是当教科书差点意思，当参考书正好
第一本《Fourier Analysis》，可以作为Baby Rudin的后续，或者直接取代卓里奇的第十八章，书里的练习和问题都很不错，建议多做做
第二本《Complex Analysis》，对几何观点讲得不够，建议参考Ahlfors或者Kodaira的复分析
第三本《Real Analysis》，某些定理的处理方法比较初等，学数学分析的话可以借鉴，比如Lebesgue微分定理是Riesz的日出引理证的，不需要Vitali覆盖（陈天权的习题）
第四本《Functional Analysis》，远远超出数学分析的范围
作者的写作动机是想凸显分析的整体性，但实际上却导致四本书的内容安排有些凌乱，读者很难找到主题