这是2021年山东济南中考数学的压轴题,是一道抛物线上的等腰三角形和相似三角形问题,难度比较适中,适合平时多练一练,强化解题能力。
抛物线y=ax^2+bx+3的图像经过点A(-1,0), 点B(3,0),顶点为C.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)如图1, 点P在抛物线上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△DAC是以AC为底的等腰三角形,求点P的坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点,连接PE,作∠PEF=∠CAB,作EF交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.
分析:(1)建议用韦达定理分别求a,b. 然后化为顶点式,直接得到C点的坐标;
(2)设D点坐标,由CD=AD求得D的坐标,然后有两种方法,一种是求CD的解析式,然后求CD与抛物线的交点坐标;另一种是利用斜率公式,因为P,C,D三点中的任意两点都可以求得CD的斜率。后者更好用,但平时用得比较少。一定要学会哦!
(3)破题的关键是证明△EAF和△PCE相似,再利用相似三角形边成比例的关系,就可以列得m关于E的横坐标的函数关系,由E的横坐标的取值范围,就可能求得m的取值范围.
解:(1)由3/a=-3,得a=-1; 由-b/a=-1+3=2,得b=2;
∴抛物线的表达式为y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4, C(1,4).
(2)设D(d,0),由CD=AD,有(1-d)^2+16=(d+1)^2, 解得:d=4.
设P(p, -p^2+2p+3),
由(-p^2+2p+3)/(p-4)=4/(1-4)=-4/3,
解得:p=7/3或p=1(舍去),
-p^2+2p+3=-49/9+14/3+3=20/9,
∴P(7/3,20/9).
解:(3)∠CEF=∠CAB+∠AFE, 且∠CEF=∠CEP+∠PEF=∠CEP+∠CAB,
∴∠AFE=∠CEP, 又∠EAF=∠PCE, ∴△EAF∽△PCE, ∴AE/CP=AF/CE,
直线AC的解析式为:y=2x+2, 可设E(t, 2t+2) -1<t<1,
则AE=根号((t+1)^2+(2t+2)^2)=根号5(t+1).
CE=根号((t-1)^2+(2t+2-4)^2)=根号5(1-t).
CP=根号((1-7/3)^2+(4-20/9)^2)=20/9.
∴5(1-t^2)=20(m+1)/9,化得:m=-9t^2/4+5/4, 【这是相似三角形边的比例关系转化来的】
∴m的取值范围为:-1<m≤5/4.
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